x分之lnx的导数是什么

【x分之lnx的导数是什么】在微积分中，求函数的导数是常见的问题之一。对于函数 $ \frac{\ln x}{x} $，我们可以通过求导法则来计算其导数。下面将对这一过程进行详细总结，并以表格形式展示关键步骤与结果。

一、函数解析

给定函数为：

$$

f(x) = \frac{\ln x}{x}

$$

这是一个由两个基本函数（对数函数和多项式函数）组成的分式函数，因此需要使用商数法则（Quotient Rule）来求导。

二、求导方法总结

1. 商数法则公式：

若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则导数为：

$$

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}

$$

2. 应用到本题：

- $ u(x) = \ln x $

- $ v(x) = x $

分别求出它们的导数：

- $ u'(x) = \frac{1}{x} $

- $ v'(x) = 1 $

代入商数法则公式：

$$

f'(x) = \frac{\left( \frac{1}{x} \right) \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}

$$

化简得：

$$

f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}

$$

三、关键步骤汇总表

四、结论

通过上述推导可知，函数 $ \frac{\ln x}{x} $ 的导数为：

$$

f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}

$$

这个结果可以帮助我们在解决实际问题时更高效地处理涉及对数与分式的导数问题。

如需进一步了解其他函数的导数或相关应用，可继续深入学习微积分中的求导技巧与公式。

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